Raisonnement (Equivalence ) : • On dit que deux propositions P et Q sont équivalentes lorsque P implique Q et Q implique P. (P⇒Q et Q ⇒P)
• On dit aussi que Q (respectivement P) est une condition nécessaire et suffisante pour P (respectivement Q),
• ou que P est vraie si et seulement si Q est vraie.
• On note P ⇔ Q
Exemple 2 (lycée)
Le signe équivalent est parfait pour la résolution des équations :
- il permet de signifier à chaque étape que la nouvelle équation obtenue a les mêmes solutions que l'équation précédente.
- il permet d'éviter de faire une étude réciproque, c'est à dire la vérification que les solutions obtenues conviennent bien.
2x-1=4x-7 ⇔ -2x=-6 ⇔ x=3 ( il n'est pas utile de vérifier que 3 est solution car l'équivalence permet de remonter les égalités.
Attention :
x=2 ⇒ x2=4 ⇒ x=2 ou x=-2 (la vérification est nécessaire, car on ne peut pas remonter les égalités ... et -2 n'est pas solution de l'équation x=2
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