- Seconde - Raisonnement -

Documents  - Symboles mathématiques Quelques symboles mathématiques utilisés à partir de la classe de seconde
Conjecture

Une conjecture est un énoncé suggéré par l'intuition, par un graphique, un tableur, la calculatrice, un ordinateur ou par l'observation d'exemples mais qui n'est pas encore démontré.
C'est une règle qui n'a jamais été prouvée. On a vérifié qu'elle est vraie sur beaucoup d'exemples mais on n'est pas sûr qu'elle soit toujours vraie.


Exemple 1 (terminale) :
Calculer 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7. Quelle conjecture peut-on formuler ?
IL SEMBLE que la somme obtenue est égale au carré du nombre de termes de la somme.
Il reste alors à prouver que cette conjecture est vérifiée en utilisant par exemple un raisonnement par récurrence.

Exemple 2 (Superman) : Conjecture de Goldbach découverte par le mathématicien russe Christian Goldbach (1690 ; 1764).

"Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers."

Dans un courrier adressé à Leonhard Euler en 1742 Goldbach soumet sa conjecture. De nombreux mathématiciens ont cherché et cherchent encore à l'expliquer, mais pour l'instant personne n'y est encore arrivé.

Après la conjecture de Fermat qui a été démontrée en 1995 par Andrew Wiles, devenu aujourd'hui célèbre, la conjecture de Goldbach se place en toute première position parmi les grands problèmes d'arithmétique restant sans solution.

Implication

Dire que la proposition P implique la proposition Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie ou que Q est la conséquence de P.
On note P ⇒ Q


Exemple 1 (collège) :
Soit les propositions « P : le quadrilatère ABCD est un parallélogramme» et « Q : le quadrilatère ABCD a ses diagonales sui se coupent en leur milieu ».
On a alors l’implication  « P ⇒ Q » qui se lit de la façon suivante « si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, alors le quadrilatère ABCD a ses diagonales sui se coupent en leur milieu »

Exemple 2 (collège) :
Soit les propositions « P : le quadrilatère ABCD est un carré » et « Q : le quadrilatère ABCD est un rectangle ».
On a alors l’implication  « P ⇒ Q » qui se lit de la façon suivante « si le quadrilatère ABCD est un carré, alors le quadrilatère ABCD est un rectangle »

Exemple 3 (terminale) :
Soit les propositions « P : la fonction f est dérivable en a» et « Q : la fonction f est continue en a ».
On a alors l’implication  « P ⇒ Q » qui se lit de la façon suivante «si la fonction f est dérivable en a, alors la fonction f est continue en a »

Réciproque

La réciproque de l'implication P ⇒ Q est l'implication Q ⇒ P


Exemple 1 (collège) :
La proposition « Si un quadrilatère est un parallélogramme (P) alors ses diagonales se coupent en leur milieu (Q) » a pour réciproque la proposition « Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu (Q) alors ce quadrilatère est un parallélogramme (P) ».

Exemple 2 (collège) : La réciproque du théorème de Pythagore
La proposition « Si un triangle est rectangle (P) alors le carré du plus long côté est  égal à la somme des carrés des deux autres côtés (Q) » a pour réciproque la proposition « Si dans un triangle le carré du plus long côté est  égal à la somme des carrés des deux autres côtés (Q) alors le triangle est rectangle (P) ».


Exemple 3 (grande section de maternelle) :
La réciproque de l'implication « Si j'habite à Casablanca (P), alors j'habite au Maroc (Q) » est fausse.
On n'a pas : Q ⇒ P

Exemple 4 (terminale) :
La réciproque de l'implication « Si la fonction f est dérivable en a (P), alors la fonction f est continue en a (Q) »  est fausse.
On n'a pas : Q ⇒ P



Equivalence

• On dit que deux propositions P et Q sont équivalentes lorsque P implique Q et Q implique P. (P⇒Q et Q ⇒P)
• On dit aussi que Q (respectivement P) est une condition nécessaire et suffisante pour P (respectivement Q),
• ou que P est vraie si et seulement si Q est vraie.
• On note P ⇔ Q 


Exemple 1 (collège) :
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. 


Exemple 2 (lycée) :
Le signe équivalent est parfait pour la résolution des équations :
- il permet de signifier à chaque étape que la nouvelle équation obtenue a les mêmes solutions que l'équation précédente.
- il permet d'éviter de faire une étude réciproque, c'est à dire la vérification que les solutions obtenues conviennent bien.

2x-1=4x-7  ⇔ -2x=-6  ⇔ x=3 ( il n'est pas utile de vérifier que 3 est solution car l'équivalence permet de remonter les égalités.

Attention :
x=2 ⇒ x2=4 ⇒ x=2 ou x=-2  (la vérification est nécessaire, car on ne peut pas remonter les égalités ... et -2 n'est pas solution de l'équation x=2)


Exemple 3 (collège) :

Lorsqu'une condition est à la fois nécessaire et suffisante, on dit que c'est une condition nécessaire et suffisante, et on est autorisé à employer la formule magique : "si et seulement si".
Par exemple, la condition "Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu, et sont perpendiculaires (P)" est une condition nécessaire et suffisante pour que ABCD soit un losange (Q).
Pour que ABCD soit un losange (Q), il faut, et il suffit, que ses diagonales se coupent en leur milieu et soit perpendiculaires (P).
En d'autres termes, un quadrilatère est un losange (Q) si, et seulement si, ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires (P).



Contraposée

La contraposée de l'implication P ⇒ Q est l'implication (non Q) ⇒ (non P).


Exemple 1 : (grande section de maternelle) 
L'implication « Si j'habite à Casablanca (P), alors j'habite au Maroc (Q) » a pour contraposée « Si je n'habite pas au Maroc (non Q) , alors je n'habite pas à Casablanca (non P)»



Exemple 2 : (collège) Contraposée du théorème de Pythagore
Si dans un triangle le carré du plus long côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.


Exemple 3 : (terminale)
L'implication « Si la fonction f est dérivable en a (P), alors la fonction f est continue en a (Q)» a pour contraposée « Si la fonction f n'est pas continue en a (non Q), alors la fonction f n'est pas dérivable en a (non P)».


Exemple 4 : (terminale)

Supposons que nous voulions démontrer que si n est un entier dont le carré n(P) est pair, alors n est pair (Q).
La contraposée de la proposition "n2 pair (P)n pair (Q)" est la proposition "n impair (non Q) n2impair (non P)". Il suffit donc de démontrer cette proposition.
En effet, si n est impair, alors n s'écrit n=2k+1avec k un entier.
On a donc n2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1 qui est impair.

 

Contre-exemple

Pour prouver qu'une propriété est fausse, il suffit d'exhiber un seul élément pour lequel cette propriété n'est pas vraie.
On dit alors qu'on a démontré que la propriété est fausse en donnant un contre-exemple. Un contre-exemple suffit pour prouver qu'un énoncé est faux.


Exemple de contre-exemple (terminale) :
On sait que si une fonction f est dérivable en a, alors elle est continue en a, la réciproque de cette propriété étant fausse.
Voici un contre-exemple attestant que cette réciproque est fausse :
La fonction valeur absolue est continue en 0. Néanmoins, la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 puisque le nombre dérivé à droite en 0 est 1 et le nombre dérivé à gauche en 0 est −1.


Exemple de contre-exemple (terminale) :  
Pour prouver qu'une fonction réelle f n'est pas paire, il suffit d'exhiber un seul réel x pour lequel f(x) diffère de f(–x) alors qu'il faudrait, pour prouver que la fonction est paire démontrer que l'égalité f(x) = f(–x) est vraie pour tout réel x appartenant à l'ensemble de définition de f.
La fonction f définie par f(x)=x2+2x n'est ni paire, ni impaire.
En effet :
f(1)=3 et f(-1)=-1
Ce contre-exemple montre que f(-1)≠f(1) et f(-1)≠-f(1)

 
Raisonnement par l'absurde

Pour démontrer qu'une proposition P est vraie, on suppose que la proposition (non P) est vraie − c'est-à-dire que la proposition P est fausse − et on montre alors que cette hypothèse conduit à une contradiction.


Exemple 1 (seconde ) :


Exemple 2 (seconde ) : Zéro n'a pas d'inverse 

Supposons que zéro ait un inverse.
Il existe donc un réel a tel que : a × 0 = 1.
Or a × 0 =a × (0+0) = (a × 0) + (a × 0) 
Comme a × 0 = 1, on aboutit donc à l'égalité 1 = 2, qui est une absurdité.
Donc zéro n'a pas d'inverse.

Disjonction de cas

Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tout élément d'un ensemble E, on peut démontrer successivement que cette propriété est vraie pour les éléments de sous-ensembles disjoints de E dont la réunion est E. On dit qu'on a raisonné par disjonction des cas.


Exemple (seconde, mais plus pour les terminales):



Récurrence (terminale)

Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes :
1 - on commence par énoncer la propriété à démontrer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie ;
2 - on vérifie que la propriété est vraie au rang initial (qui est souvent 0 ou 1)
3 - on prouve le caractère héréditaire de la propriété . On suppose que la propriété est vraie pour un entier n arbitrairement fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang n + 1
4 - on conclut en invoquant le principe de récurrence.

Cours  - cours et exemples
Double inclusion (Peu utilisé au lycée)

Lorsque E et F sont deux ensembles et qu'on veut montrer que E=F, on peut prouver successivement que E C F (E est inclus dans F) puis que F C E (F est inclus dans E) ; on dit alors qu'on a procédé par "double inclusion".


Exemple (terminale) :






 

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